Skript zur Vorlesung Stochastik II (FU Berlin, Sommersemester 2012) Vorlesung Stochastik II

Vorwort 2 1 Grundlagen der Maßund Integrationstheorie 2 1.1 Maßproblem, Mengensysteme, Maßraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Konstruktion von (Wahrscheinlichkeits-)Maßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Integration messbarer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Konvergenzsätze der Maßtheorie (starke Konvergenz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5 Produktmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Summen von unabhängigen Zufallsvariablen 20 2.1 Wahrscheinlichkeitsverteilungen und -dichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Verteilungskonvergenz (schwache Konvergenz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3 Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4 Grenzwertsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.5 Mittlere und große Abweichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3 Abhängige Zufallsvariable: Markovketten 45 3.1 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2 Markovketten auf abzählbarem Zustandsraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.3 Existenz einer stationären Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.4 Asymptotisches Verhalten und Kopplung von Markovketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.5 Markovketten-Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4 Zeitdiskrete Martingale 65 4.1 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswerte, Forts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.2 Spielsysteme und stochastische Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.3 Stoppzeiten und Stoppsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Literatur 74